В детстве Капризов жил в поселке Кузедеево, расположенной в часе езды от Новокузнецка. В возрасте четырёх лет его вместе с братом отец, игравший в хоккей до 16 лет, отвёз на ледовую арену, расположенную на окраине города. Кириллу, в отличие от брата, сразу же понравился хоккей. Он начал заниматься этим видом спорта, из-за чего отцу приходилось каждый день возить сына на тренировки и обратно в течение четырёх последующих лет. В хоккейной школе начал играть на позиции защитника из-за хорошего катания спиной, но через год был переведён в нападение. Показывал результативную игру на детско-юношеском уровне. С командой «Металлург» 1997 года рождения под руководством Андрея Лучанского трижды играл в финальных турнирах первенства России. Наиболее удачным для нападающего стал турнир 2012 года, когда Капризов в 4 матчах заработал 11 результативных баллов.

В интервью говорит, что первый тренер Андрей Лучанский воспитывал его с детства в профессиональном смысле и именно этот человек сыграл очень большую роль в его формировании, как спортсмена. Он проявлял строгость характера, но при этом сохранял доброе отношение. Под руководством Лучанского выяснилось, что Капризов может играть в любом амплуа, кроме вратарского. У Лучанского Кирилл Капризов тренировался до 16 лет. В январе 2018 года, после включения в состав сборной России Капризов в знак уважения и благодарности подарил своему первому тренеру кроссовер «Hyundai Creta».

С 15 лет Капризов принимал участие в тренировках и товарищеских матчах в составе команды Молодёжной хоккейной лиги «Кузнецкие Медведи», но не мог выступать в чемпионате МХЛ до начала сезона 2013/14 из-за регламента лиги, запрещающего выступать хоккеистам, не достигшим 16-летнего возраста. Дебютировал в МХЛ только 3 сентября 2013 года в матче против кирово-чепецкой «Олимпии», в котором сумел заработать результативный балл, отдав голевую передачу. Однако в последующих играх стартового отрезка у него не получалось стабильно набирать очки. Только после середины сезона Капризов начал регулярно зарабатывать результативные баллы. По итогам регулярного чемпионата стал четвёртым бомбардиром в команде, набрав 34 (18+16) очка в 52 матчах. Также выступил вместе с «Медведями» в розыгрыше плей-офф. Новокузнечане дошли до полуфинала Восточной конференции, где уступили «Барсу». Капризов провёл восемь игр в первых двух раундах плей-офф, в которых отличился одной заброшенной шайбой и двумя результативными передачами. В опубликованном после окончания сезона МХЛ рейтинг-листе самых талантливых хоккеистов-дебютантов лиги занял первое место.

В мае 2014 года новокузнецкий «Металлург» выбрал Капризова под первым номером на драфте юниоров КХЛ. Капризов проводил подготовку к новому сезону в составе основной команды. Главный тренер «металлургов» Герман Титов высоко оценивал талант и перспективы юного нападающего, отмечая, что Капризов стал одним из лучших игроков на предсезонном сборе. 6 сентября, в матче против «Сибири», дебютировал на взрослом уровне, а ровно через месяц сумел заработать своё первое очко в КХЛ, отдав результативную передачу в игре с «Северсталью». 7 ноября 2014 года, в матче с «Медвешчаком», забросил первую шайбу за «Металлург», став на тот момент самым молодым игроком, забившим гол в сезоне 2014/15. По ходу сезона являлся основным игроком «Металлурга», но периодически пропускал матчи КХЛ из-за отдыха, предоставляемого тренерским штабом. Всего в дебютном для себя сезоне в КХЛ провёл 31 матч, в которых заработал 8 результативных баллов. По окончании регулярного чемпионата КХЛ Капризов был отправлен на усиление «Кузнецких Медведей», готовящихся к плей-офф МХЛ, однако новокузнецкая команда не сумела победить соперника по первому раунду — «Белых Медведей». По итогам сезона попал в рейтинг 30 лучших играющих в Европе хоккеистов предстоящего драфта НХЛ 2015 года, что позволило игроку рассчитывать на выбор одной из команд Национальной хоккейной лиги. Наибольшую заинтересованность на драфте в новокузнецком игроке проявил клуб «Миннесота Уайлд», выбравший Капризова в пятом раунде под общим 135-м номером. При этом Капризов стал первым за 12 лет российским хоккеистом, выбранным «Уайлд» на драфте.

Был выбран одним из участников Матча звёзд КХЛ, который прошёл 23 января 2016 года в Москве. Забросил три шайбы и отдал голевую передачу, выступая за команду Востока. 26 января получил почетный знак «Спортивная доблесть Кузбасса» из рук губернатора Кемеровской области Амана Тулеева.

2 мая 2016 года подписал двухлетний контракт с уфимским клубом «Салават Юлаев». За переход «Металлург» получил от уфимцев 80 миллионов рублей[28]. Трансфер Капризова стал самым дорогим в истории новокузнецкого клуба.

1 мая 2017 года в результате обмена на денежную компенсацию перешёл из уфимского «Салавата Юлаева» в ЦСКА, 10 августа стало известно, что Капризов подписал новый трёхлетний контракт с ЦСКА.

В сезоне 2018/2019 вместе с командой стал обладателем Кубка Гагарина . Капризов за этот сезон в 74 матчах набрал 65 очков.